Matemáticas II · PAU/EBAU de Canarias · Junio 2025
Examen de Geometría resuelto paso a paso — Matemáticas II PAU Canarias (junio 2025)
Aquí tienes el bloque de Geometría del examen de Matemáticas II de la PAU de Canarias (antes EBAU; Universidad de La Laguna, convocatoria de junio de 2025) resuelto paso a paso. Trabajamos rectas y planos en el espacio: pertenencia de puntos, distancia, ángulo entre rectas, posición relativa recta-plano y punto simétrico. Tienes la descarga en PDF y, más abajo, el vídeo con la explicación.
El examen ofrece dos opciones (3A y 3B) y se elige solo una. Aquí resolvemos las dos para que tengas ambas practicadas.
Opción 3A. Punto, distancia y ángulo entre dos rectas
Dados el punto P(2, −1, 1) y las rectas:
r2: (x+3)/2 = 2 − y = (z+4)/3
a) Comprueba que P ∈ r1 y que P ∉ r2.
b) Halla la distancia entre P y el punto de intersección de r1 y r2.
c) Halla el ángulo con el que se cortan r1 y r2.
a) ¿P pertenece a cada recta?
Un punto pertenece a una recta si cumple sus ecuaciones. En r1 sustituimos P y comprobamos las dos ecuaciones; en r2 vemos si los tres cocientes dan lo mismo:
r1: 4·2 + 3·(−1) − 3·1 = 2 ✓ ; 2·2 − 3·(−1) − 6·1 = 1 ✓ → P ∈ r1
r2: (2+3)/2 = 5/2 ; 2 − (−1) = 3 ; (1+4)/3 = 5/3 → no coinciden
✔ P pertenece a r1 pero no pertenece a r2.
b) Distancia entre P y el punto de corte de las rectas
Primero pasamos ambas rectas a paramétricas. El director de r1 se obtiene con el producto vectorial de las normales de sus dos planos, y sale (−3, 2, −2); el de r2 se lee directamente, (2, −1, 3). Igualando coordenadas se plantea un sistema cuya solución da el punto de corte:
r1: (2 − 3λ, −1 + 2λ, 1 − 2λ)
r2: (−3 + 2μ, 2 − μ, −4 + 3μ)
λ = 1, μ = 1 → punto de corte Q(−1, 1, −1)
La distancia entre P(2, −1, 1) y Q(−1, 1, −1) es el módulo del vector PQ = (−3, 2, −2):
✔ La distancia entre P y Q es √17 ≈ 4,12 unidades.
c) Ángulo entre las dos rectas
El ángulo se obtiene con el coseno a partir de los vectores directores, u = (−3, 2, −2) y v = (2, −1, 3), usando el producto escalar (en valor absoluto) dividido entre el producto de sus módulos:
✔ El ángulo que forman las rectas es α ≈ 24° 50′.
Opción 3B. Posición recta-plano y punto simétrico
Dados A(1, 0, 2), el plano π: −x + 2y + z + 1 = 0 y la recta r: {4x − 7y + 2z = 7 ; y − 2z + 5 = 0}.
a) Halla la posición relativa del plano π y la recta r.
b) Halla el punto simétrico de A respecto del plano π.
a) Posición relativa recta-plano
Obtenemos el director de r (producto vectorial de las normales de sus dos planos), que es (12, 8, 4), y el vector normal del plano, n = (−1, 2, 1). Hacemos su producto escalar:
Como no da 0, la recta no es paralela al plano: se cortan en un punto. Pasando r a paramétrica (un punto suyo es (−7, −5, 0)) y sustituyendo en el plano sale λ = 1/4, que da el punto de corte:
✔ La recta y el plano se cortan en el punto P(−4, −3, 1).
b) Punto simétrico de A respecto del plano
La idea: trazamos por A la recta perpendicular al plano (su director es la normal n = (−1, 2, 1)), hallamos dónde corta al plano (el pie M) y aplicamos que M es el punto medio entre A y su simétrico A′. Sustituyendo la recta en el plano sale λ = −1/3, y con él:
Con la fórmula del punto medio, A′ = 2M − A en cada coordenada:
✔ El punto simétrico de A respecto del plano es A′(5/3, −4/3, 4/3).
Vídeo explicativo de este examen
Aquí irá el vídeo con la resolución comentada. Lo añades cuando lo grabes y subas a YouTube.
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