Matemáticas II · PAU/EBAU de Canarias · Junio 2025
Examen de Análisis resuelto paso a paso — Matemáticas II PAU Canarias (junio 2025)
Aquí tienes el bloque de Análisis del examen de Matemáticas II de la PAU de Canarias (antes EBAU; Universidad de La Laguna, convocatoria de junio de 2025) resuelto paso a paso. Es un problema de función definida a trozos donde trabajamos continuidad, derivada, crecimiento y asíntotas. Tienes la descarga en PDF y, más abajo, el vídeo con la explicación.
Ejercicio único. El fármaco Metabolix
En un hospital de Canarias se estudia cómo se metaboliza un fármaco. La concentración residual (en mg/L) según el tiempo x (en horas) desde su administración se modeliza:
f(x) = x2 − 6x + 11 si 0 ≤ x < 2 ; 9/√(5x − 1) si x ≥ 2
a) Confirma si el modelo es continuo. Justifícalo.
b) Comprueba que la velocidad de crecimiento de la concentración a las 3 horas es mayor que −0,5 (mg/L)/h.
c) ¿Es cierto que la concentración siempre disminuye? ¿En qué instante es máxima y cuánto vale?
d) Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual?
a) Continuidad del modelo
Cada trozo es continuo en su intervalo (un polinomio, y una raíz definida para x ≥ 2). El único punto que hay que revisar es el empalme en x = 2. Para que sea continua, el valor de la función y los límites por ambos lados deben coincidir:
Los tres valores coinciden (= 3), así que la función es continua en x = 2 y, por tanto, continua en todo su dominio.
✔ El modelo es continuo en todo su dominio porque los límites y el valor en x = 2 coinciden.
b) Velocidad de crecimiento a las 3 horas
La velocidad de crecimiento es la derivada. Como las 3 horas caen en el tramo x ≥ 2, derivamos f(x) = 9·(5x − 1)−1/2:
Evaluamos en x = 3:
✔ Como −0,43 > −0,5, la afirmación es verdadera: la velocidad a las 3 horas es mayor que −0,5 (mg/L)/h.
c) ¿Siempre disminuye? Instante de concentración máxima
Miramos el signo de la derivada en cada tramo. En 0 < x < 2, f '(x) = 2x − 6, que es negativa (decrece). En x > 2, la derivada del apartado anterior también es negativa (decrece). Así que la función decrece en todo momento. Al decrecer siempre, el valor máximo está en el punto de partida, x = 0:
✔ Sí, la concentración disminuye siempre. Es máxima en x = 0 (concentración inicial), con un valor de 11 mg/L.
d) Concentración pasado mucho tiempo
Calculamos la asíntota horizontal, el límite cuando x tiende a infinito:
✔ Pasado un largo periodo, la concentración residual tiende a 0: el fármaco acaba desapareciendo.
Vídeo explicativo de este examen
Aquí irá el vídeo con la resolución comentada. Lo añades cuando lo grabes y subas a YouTube.
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