Matemáticas II · PAU/EBAU de Canarias · Julio 2025
Examen de Análisis resuelto paso a paso — Matemáticas II PAU Canarias (julio 2025)
Aquí tienes el bloque de Análisis del examen de Matemáticas II de la PAU de Canarias (antes EBAU; Universidad de La Laguna, convocatoria de julio de 2025) resuelto paso a paso. Es un problema de modelo logístico, donde trabajamos valor inicial, tasa de variación media, crecimiento y asíntotas. Tienes la descarga en PDF y, más abajo, el vídeo con la explicación.
Ejercicio único. El modelo logístico de una colonia de hormigas
El número de hormigas de una nueva colonia, t meses después de formarse, se modeliza con la función:
H(t) = 6400 / (1 + 159·e−0,5t)
a) ¿Cuántas hormigas formaron la colonia inicialmente?
b) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo? Interpreta el resultado.
c) Un observador afirma que el modelo siempre crece y que la población crece sin control. Justifica matemáticamente si es correcto.
d) ¿En qué momento la colonia alcanzará la mitad de su capacidad de carga?
a) Número inicial de hormigas
«Inicialmente» significa t = 0. Sustituimos, recordando que e0 = 1:
✔ La colonia estaba formada inicialmente por 40 hormigas.
b) Tasa media de crecimiento el primer y el segundo año
La tasa media de variación en un intervalo es la diferencia de valores dividida entre el tiempo transcurrido. El primer año va de t = 0 a t = 12 meses, y el segundo de t = 12 a t = 24. Necesitamos H(12) y H(24):
TVM(12, 24) = (6394 − 4591) / 12 ≈ 150
✔ El ritmo de crecimiento disminuye: de unas 379 hormigas/mes el primer año a unas 150 hormigas/mes el segundo. La colonia crece cada vez más despacio.
c) ¿Siempre crece? ¿Sin control?
Para ver si siempre crece, estudiamos el signo de la derivada:
El numerador (una exponencial) es siempre positivo y el denominador está al cuadrado, así que H'(t) > 0 en todo momento: la función siempre crece. Pero «sin control» es otra cosa; lo comprobamos con la asíntota horizontal:
✔ El observador acierta a medias: la colonia siempre crece, pero no sin control: se estabiliza al llegar a las 6400 hormigas (su capacidad de carga).
d) Momento en que alcanza la mitad de su capacidad
La mitad de la capacidad de carga es 6400/2 = 3200. Planteamos H(t) = 3200 y despejamos t, usando el logaritmo neperiano para bajar la exponencial:
✔ La colonia alcanza la mitad de su capacidad hacia los 10 meses.
Vídeo explicativo de este examen
Aquí irá el vídeo con la resolución comentada. Lo añades cuando lo grabes y subas a YouTube.
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