Análisis Matemáticas II EBAU Canarias 2026 resuelto

Matemáticas II · EBAU/PAU de Canarias · Junio 2026

Examen de Análisis resuelto paso a paso — Matemáticas II EBAU Canarias (junio 2026)

Aquí tienes el bloque de Análisis del examen de Matemáticas II de la EBAU/PAU de Canarias (Universidad de La Laguna, convocatoria de junio de 2026) resuelto paso a paso, con la explicación de cada paso como en clase. Son dos ejercicios: el estudio completo de una función (crecimiento, extremos y asíntotas) y una integral definida por partes junto con un problema de continuidad y derivabilidad. Puedes descargar el examen resuelto en PDF y, más abajo, ver el vídeo con la resolución comentada.

Ejercicio 1. Análisis I — La barredora de ceniza volcánica

Tras la erupción del volcán Tajogaite (La Palma, 2021), un equipo de ingenieros desarrolla una barredora marítima para recoger la ceniza que llega al mar, con una capacidad de 0,5 km²/hora. La superficie afectada por la mancha de ceniza (en km²) se modeliza mediante la función siguiente, siendo t los días transcurridos desde que empieza la monitorización:

f(t) = (10t + 5) / (2t² + 4) + 5

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento del modelo. ¿Existe algún valor extremo? ¿Cuál es el tamaño de la mancha en ese punto?
b) Un técnico afirma que, pasado un tiempo, la mancha desaparecerá sola. ¿Es cierto?
c) La barredora empieza a trabajar el día 4. Si la mancha dejara de recibir ceniza y se mantuviera constante desde ese día, ¿cuánto tardaría en eliminarla?

a) Crecimiento, decrecimiento y extremos

Para estudiar si la función crece o decrece, calculamos su derivada y miramos su signo. Como f(t) es un cociente, aplicamos la regla del cociente (la parte constante +5 desaparece al derivar):

f '(t) = [ 10·(2t²+4) − (10t+5)·4t ] / (2t²+4)² = (−20t² − 20t + 40) / (2t²+4)²

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada solo depende del numerador. Igualamos a cero para encontrar los posibles extremos:

−20t² − 20t + 40 = 0 → t² + t − 2 = 0 → t = 1 y t = −2

Como t son días, la solución t = −2 no tiene sentido y la descartamos. Estudiamos el signo alrededor de t = 1: antes del día 1 la derivada es positiva (la función crece) y después es negativa (la función decrece). Por tanto hay un máximo en t = 1. Calculamos el tamaño de la mancha ese día:

f(1) = (10·1 + 5) / (2·1² + 4) + 5 = 15/6 + 5 = 7,5

✔ La función crece en (0, 1) y decrece en (1, ∞). Hay un máximo el día 1, con una mancha de 7,5 km².

b) ¿Desaparece la mancha con el tiempo?

«Pasado un tiempo» significa estudiar qué ocurre cuando t se hace muy grande, es decir, la asíntota horizontal. Calculamos el límite en el infinito:

lim_t→∞ [ (10t + 5) / (2t² + 4) + 5 ]

En la fracción, el grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1), así que ese cociente tiende a 0. Queda:

0 + 5 = 5

✔ La afirmación es falsa: la mancha no desaparece, se estabiliza en 5 km².

c) Tiempo que tarda la barredora

Primero calculamos el tamaño de la mancha el día 4, sustituyendo t = 4:

f(4) = (10·4 + 5) / (2·4² + 4) + 5 = 45/36 + 5 = 6,25

La mancha mide 6,25 km² y la barredora limpia 0,5 km² cada hora. Dividimos para saber las horas necesarias:

6,25 / 0,5 = 12,5

✔ La barredora tardaría 12,5 horas en eliminar la mancha de ceniza.

Ejercicio 2. Análisis II — Integral definida y continuidad

En el examen este bloque ofrece dos opciones (4A y 4B) y se elige solo una. Aquí resolvemos las dos para que tengas ambas practicadas.

Opción 4A — Integral definida por partes

Calcula la integral definida: ∫ desde 1 hasta 2 de x·e^x dx.

Es un producto de dos funciones distintas (una potencia y una exponencial), así que aplicamos la integración por partes. Elegimos:

u = x → du = dx | dv = e^x dx → v = e^x

Aplicamos la fórmula ∫u·dv = u·v − ∫v·du y evaluamos entre 1 y 2:

[ x·e^x − e^x ]₁² = [ e^x(x − 1) ]₁² = e²(2−1) − e¹(1−1) = e²

✔ El valor de la integral es e².

Opción 4B — Continuidad y derivabilidad

Dada la función definida a trozos:

f(x) = 1 + a/(x−2) si x < 1 ; a + b/√x si x ≥ 1

Estudia para qué valores de a y b la función es continua y derivable en todo ℝ, y da la expresión de la función resultante.

El único punto conflictivo es x = 1, donde cambia la definición. Imponemos allí las dos condiciones: primero continuidad, luego derivabilidad.

Continuidad en x = 1: el valor por la izquierda y el de la función deben coincidir.

f(1⁻) = 1 + a/(1−2) = 1 − a ; f(1) = a + b/√1 = a + b

1 − a = a + b → 1 − b = 2a (ecuación 1)

Derivabilidad en x = 1: las derivadas por la izquierda y por la derecha deben coincidir. Derivamos cada trozo:

x < 1: f '(x) = −a/(x−2)² → f '(1⁻) = −a

x > 1: f '(x) = −b/(2·x√x) → f '(1⁺) = −b/2

−a = −b/2 → 2a = b (ecuación 2)

Resolvemos el sistema con las dos ecuaciones. Sustituimos b = 2a en la ecuación 1:

1 − 2a = 2a → 4a = 1 → a = 1/4 ; b = 1/2

✔ La función es continua y derivable en x = 1 cuando a = 1/4 y b = 1/2.

Vídeo explicativo de este examen

Aquí irá el vídeo con la resolución comentada. Lo añades cuando lo grabes y subas a YouTube.

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Descarga este examen resuelto en PDF

Bloque de Análisis · Matemáticas II · EBAU Canarias junio 2026

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