Matemáticas II · PAU/EBAU de Canarias · Junio 2025
Examen de Álgebra resuelto paso a paso — Matemáticas II PAU Canarias (junio 2025)
Aquí tienes el bloque de Álgebra del examen de Matemáticas II de la PAU de Canarias (antes EBAU; Universidad de La Laguna, convocatoria de junio de 2025) resuelto paso a paso. Trabajamos matriz inversa con parámetro, ecuaciones matriciales y rango de una matriz. Tienes la descarga en PDF y, más abajo, el vídeo con la explicación.
El examen ofrece dos opciones (2A y 2B) y se elige solo una. Aquí resolvemos las dos para que tengas ambas practicadas.
Opción 2A. Matriz inversa con parámetro y ecuación matricial
Dada la matriz M con a ∈ ℝ:
M = ⎛ 1 a − 3 ⎞
⎝ −1 2 − a ⎠a) Comprueba que M es invertible para cualquier valor de a y da la expresión de M−1.
b) Para a = −1, calcula la matriz X que cumple MA = B − MX, siendo A y B:
A = ⎛ 0 −1 3 ⎞ B = ⎛ 1 0 3 ⎞
⎝ 1 2 −2 ⎠ ⎝ −1 2 1 ⎠a) M es invertible: cálculo de M−1
Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Lo calculamos:
Da −1 sea cual sea a, así que siempre es invertible. Para una matriz 2×2 se cambian de sitio los elementos de la diagonal, se cambia el signo a los otros dos y se divide entre el determinante:
M⁻¹ = ⎛ a − 2 a − 3 ⎞
⎝ −1 −1 ⎠b) Resolver la ecuación matricial (a = −1)
Con a = −1 queda M = ⎛ 1 −4 ; −1 3 ⎞. Despejamos X de MA = B − MX. Pasamos MX a un lado: MX = B − MA, y multiplicamos por M−1 por la izquierda:
Calculamos por partes. Primero MA, luego la resta, y por último multiplicamos por M−1:
MA = ⎛ −4 −9 11 ⎞ → B − MA = ⎛ 5 9 −8 ⎞
⎝ 3 7 −9 ⎠ ⎝ −4 −5 10 ⎠
X = ⎛ −3 −4 ⎞ · ⎛ 5 9 −8 ⎞ = ⎛ 1 −7 −16 ⎞
⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ −4 −5 10 ⎠ ⎝ −1 −4 −2 ⎠✔ La matriz buscada es X = ( 1, −7, −16 / −1, −4, −2 ).
Opción 2B. Rango de una matriz según un parámetro
Dada la matriz A con k ∈ ℝ:
A = ⎛ 5 −4 2 ⎞
⎜ 2 k 1 ⎟
⎝ −4 4 k ⎠a) Estudia el rango de A según los valores del parámetro k.
b) Para k = −1, comprueba que A2 = 2A − I y, usando esa igualdad, verifica sin calcular la potencia que A4 = 4A − 3I.
a) Rango según k
Calculamos el determinante de A en función de k y vemos cuándo se anula:
Si k es distinto de −2 y de −6/5, el determinante no es cero y la matriz 3×3 tiene rango máximo. En los dos valores que lo anulan, buscamos un menor 2×2 no nulo (por ejemplo el formado por las dos primeras filas y columnas), que da distinto de 0, así que el rango baja a 2:
✔ Rango 3 si k ≠ −2 y k ≠ −6/5. Rango 2 si k = −2 o k = −6/5.
b) Comprobar A2 = 2A − I y deducir A4 (k = −1)
Con k = −1, la matriz es:
A = ⎛ 5 −4 2 ⎞
⎜ 2 −1 1 ⎟
⎝ −4 4 −1 ⎠Multiplicando A por sí misma y, por otro lado, calculando 2A − I, se obtiene la misma matriz:
A² = 2A − I = ⎛ 9 −8 4 ⎞
⎜ 4 −3 2 ⎟
⎝ −8 8 −3 ⎠Para A4 no hace falta multiplicar de nuevo: como A4 = (A2)2 y A2 = 2A − I, sustituimos y desarrollamos, usando otra vez A2 = 2A − I al final:
✔ Queda comprobado que A4 = 4A − 3I sin calcular la potencia.
Vídeo explicativo de este examen
Aquí irá el vídeo con la resolución comentada. Lo añades cuando lo grabes y subas a YouTube.
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