Matemáticas II · PAU/EBAU de Canarias · Julio 2025
Examen de Probabilidad resuelto paso a paso — Matemáticas II PAU Canarias (julio 2025)
Aquí tienes el bloque de Probabilidad del examen de Matemáticas II de la PAU de Canarias (antes EBAU; Universidad de La Laguna, convocatoria de julio de 2025) resuelto paso a paso. Trabajamos el teorema de Bayes y la aproximación de la binomial por la normal. Tienes la descarga en PDF y, más abajo, el vídeo.
El examen ofrece dos opciones (4A y 4B) y se elige solo una. Aquí resolvemos las dos para que tengas ambas practicadas.
Opción 4A. Teorema de Bayes — test de una enfermedad
Una enfermedad rara afecta al 1 % de la población. La sensibilidad del test (dar positivo estando enfermo) es del 95 % y la especificidad (dar negativo estando sano) es del 98 %. Se elige a una persona al azar.
a) Si se somete al test, calcula la probabilidad de estar realmente enfermo cuando el test da positivo.
b) En una población de 35 000 personas, ¿podemos afirmar que se esperan más de 50 personas enfermas entre las que han dado negativo?
a) Probabilidad de estar enfermo dando positivo
Llamamos E = estar enfermo (P = 0,01) y S = estar sano (P = 0,99). Del enunciado: P(positivo | enfermo) = 0,95 y P(positivo | sano) = 1 − 0,98 = 0,02. Aplicamos el teorema de Bayes, dividiendo la rama «enfermo y positivo» entre todas las formas de dar positivo:
✔ La probabilidad de estar enfermo cuando el test da positivo es 0,3242 (un 32,42 %).
b) ¿Más de 50 enfermos entre los negativos?
Ahora nos fijamos en las personas enfermas que dieron negativo. Primero la probabilidad de dar negativo (por cualquier camino):
Con Bayes, la probabilidad de estar enfermo habiendo dado negativo y, multiplicando por las 35 000 personas, el número esperado:
✔ Se esperan unas 18 personas enfermas entre las que dieron negativo. Como es menos de 50, no podemos afirmar que haya más de 50.
Opción 4B. Binomial aproximada por la normal — plazas de residencia
Se encuesta a 1800 estudiantes de islas no capitalinas; el 27 % solicita plaza en una residencia universitaria.
a) Comprueba si hay más de un 90 % de probabilidad de recibir entre 460 y 510 solicitudes.
b) Si a partir de 525 solicitudes se deben construir nuevas residencias, ¿qué probabilidad hay de que deban hacerlo?
Preparación · De binomial a normal
El número de solicitudes sigue una binomial B(1800, 0,27). Como np = 486 y nq = 1314 son ambos mayores que 5, la aproximamos por una normal con media np y desviación típica √npq:
Trabajamos con X ~ N(486, 18,84).
a) Probabilidad de entre 460 y 510 solicitudes
Tipificamos los dos extremos y buscamos en la tabla N(0,1):
✔ La probabilidad es 0,8142 (81,42 %), así que no llega al 90 %.
b) Probabilidad de más de 525 solicitudes
Calculamos P(X > 525) tipificando:
✔ La probabilidad de tener que construir nuevas residencias es de 0,0192 (1,92 %).
Vídeo explicativo de este examen
Aquí irá el vídeo con la resolución comentada. Lo añades cuando lo grabes y subas a YouTube.
Descarga este examen resuelto en PDF
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